88В. Решите неравенство  \(\frac{{{{\log }_{0,5}}\left( {8{x^2} + 24x-16} \right) + {{\log }_2}\left( {{x^4} + 6{x^3} + 9{x^2}} \right)}}{{{x^2} + 3x-10}} \ge 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-5} \right) \cup \left\{ {-4;\;1} \right\} \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{{{{\log }_{0,5}}\left( {8{x^2} + 24x-16} \right) + {{\log }_2}\left( {{x^4} + 6{x^3} + 9{x^2}} \right)}}{{{x^2} + 3x-10}} \ge 0.\)

Запишем ограничения на подлогарифмические выражения:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} + 6{x^3} + 9{x^2} > 0,}\\{8{x^2} + 24x-16 > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}{{\left( {x + 3} \right)}^2} > 0,}\\{{x^2} + 3x-2 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{x\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{{-3-\sqrt {17} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{-3 + \sqrt {17} }}{2};\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{{-3-\sqrt {17} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{-3 + \sqrt {17} }}{2};\infty } \right).\)

Решим исходное неравенство методом интервалов при условии, что \(x\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{{-3-\sqrt {17} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{-3 + \sqrt {17} }}{2};\infty } \right).\)  Найдём нули числителя:

\({\log _{0,5}}\left( {8{x^2} + 24x-16} \right) + {\log _2}\left( {{x^4} + 6{x^3} + 9{x^2}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{{2^{-1}}}}\left( {8\left( {{x^2} + 3x} \right)-16} \right) + {\log _2}{\left( {{x^2} + 3x} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {8\left( {{x^2} + 3x} \right)-16} \right) = {\log _2}{\left( {{x^2} + 3x} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2} + 3x} \right)^2}-8\left( {{x^2} + 3x} \right) + 16 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2} + 3x-4} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 3x-4 = 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\,\;\;}\\{x = -4.}\end{array}} \right.\)

Найдём нули знаменателя:  \({x^2} + 3x-10 \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2,\;\,}\\{x \ne -5.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;-5} \right) \cup \left\{ {-4;\;1} \right\} \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;-5} \right) \cup \left\{ {-4;\;1} \right\} \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)