9В. Решите неравенство \({\log _4}\left( {20-\frac{9}{x}} \right) + {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {5-\frac{x}{4}} \right) \ge 1\).
\({\log _4}\left( {20-\frac{9}{x}} \right) + {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {5-\frac{x}{4}} \right) \ge 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{20-\frac{9}{x} > 0,}\\{5-\frac{x}{4} > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{20x-9}}{x} > 0,}\\{\frac{{20-x}}{4} > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{20x-9}}{x} > 0,\,}\\{x-20 < 0\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{9}{{20}};\infty } \right),}\\{x \in \left( {-\infty ;20} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Следовательно, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{9}{{20}};20} \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _4}\left( {20-\frac{9}{x}} \right) + {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {5-\frac{x}{4}} \right) \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _4}\left( {20-\frac{9}{x}} \right)-{\log _4}\left( {5-\frac{x}{4}} \right) \ge {\log _4}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _4}\left( {20-\frac{9}{x}} \right) \ge {\log _4}4 + {\log _4}\left( {5-\frac{x}{4}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _4}\left( {20-\frac{9}{x}} \right) \ge {\log _4}\left( {4\left( {5-\frac{x}{4}} \right)} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;20-\frac{9}{x} \ge 20-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{20x-9}}{x}-20 + x \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{20x-9-20x + {x^2}}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^2}-9}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x-3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{x} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Значит, \(x \in \left[ {-3;0} \right) \cup \left[ {3;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-3;\;0} \right) \cup \left[ {3;\;20} \right).\) Ответ: \(\left[ {-3;\;0} \right) \cup \left[ {3;\;20} \right).\)
