91В. Решите неравенство \(\frac{{{{\log }_2}\left( {8x} \right) \cdot {{\log }_3}\left( {27x} \right)}}{{{x^2}-\left| x \right|}} \le 0\).
\(\frac{{{{\log }_2}\left( {8x} \right) \cdot {{\log }_3}\left( {27x} \right)}}{{{x^2}-\left| x \right|}} \le 0.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x > 0,\;}\\{27x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) Так как \(x > 0,\) то \(\left| x \right| = x.\) Тогда исходное неравенство примет вид: \(\frac{{{{\log }_2}\left( {8x} \right) \cdot {{\log }_3}\left( {27x} \right)}}{{{x^2}-x}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x > 0.\) Найдём нули числителя: \({\log _2}\left( {8x} \right) \cdot {\log _3}\left( {27x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\left( {8x} \right) = 0,\;}\\{{{\log }_3}\left( {27x} \right) = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x = 1,\;}\\{27x = 1}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{8},\;\;}\\{x = \frac{1}{{27}}.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \({x^2}-x \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x-1} \right) \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,}\\{x \ne 1.\,}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;\frac{1}{{27}}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{8};\;1} \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{27}}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{8};\;1} \right).\)