92В. Решите неравенство \(\frac{{{{\log }_3}\left( {9x} \right) \cdot {{\log }_4}\left( {64x} \right)}}{{5{x^2}-\left| x \right|}} \le 0\).
\(\frac{{{{\log }_3}\left( {9x} \right) \cdot {{\log }_4}\left( {64x} \right)}}{{5{x^2}-\left| x \right|}} \le 0.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9x > 0,\;}\\{64x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) Так как \(x > 0,\) то \(\left| x \right| = x.\) Тогда исходное неравенство примет вид: \(\frac{{{{\log }_3}\left( {9x} \right) \cdot {{\log }_4}\left( {64x} \right)}}{{5{x^2}-x}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x > 0.\) Найдём нули числителя: \({\log _3}\left( {9x} \right) \cdot {\log _4}\left( {64x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {9x} \right) = 0,\;}\\{{{\log }_4}\left( {64x} \right) = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{9x = 1,\;}\\{64x = 1}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{9},\,\;}\\{x = \frac{1}{{64}}.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(5{x^2}-x \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {5x-1} \right) \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,}\\{x \ne \frac{1}{5}.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;\frac{1}{{64}}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{9};\;\frac{1}{5}} \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{64}}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{9};\;\frac{1}{5}} \right).\)