96В. Решите неравенство \(\frac{1}{4}\log _5^2{\left( {2x + 3} \right)^2} + 8\log _5^2\sqrt x \le {\log _5}{\left( {2x + 3} \right)^3} \cdot {\log _5}x\).
\(\frac{1}{4}\log _5^2{\left( {2x + 3} \right)^2} + 8\log _5^2\sqrt x \le {\log _5}{\left( {2x + 3} \right)^3} \cdot {\log _5}x.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2x + 3} \right)}^2} > 0,}\\{{{\left( {2x + 3} \right)}^3} > 0,}\\{x \ge 0,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\,}\\{x > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3 > 0,}\\{x > 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\) \(\frac{1}{4}\log _5^2{\left( {2x + 3} \right)^2} + 8\log _5^2\sqrt x \le {\log _5}{\left( {2x + 3} \right)^3} \cdot {\log _5}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _5^2\left| {2x + 3} \right| + 2\log _5^2x-3{\log _5}\left( {2x + 3} \right) \cdot {\log _5}x \le 0.\) Так как \(2x + 3 > 0,\) то \(\left| {2x + 3} \right| = 2x + 3.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\log _5^2\left( {2x + 3} \right) + 2\log _5^2x-3{\log _5}\left( {2x + 3} \right) \cdot {\log _5}x \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\,\log _5^2\left( {2x + 3} \right)-{\log _5}\left( {2x + 3} \right) \cdot {\log _5}x + 2\log _5^2x-2{\log _5}\left( {2x + 3} \right) \cdot {\log _5}x \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;{\log _5}\left( {2x + 3} \right) \cdot \,\left( {{{\log }_5}\left( {2x + 3} \right)-{{\log }_5}x} \right)-2{\log _5}x \cdot \left( {{{\log }_5}\left( {2x + 3} \right)-{{\log }_5}x} \right) \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_5}\left( {2x + 3} \right)-{{\log }_5}x} \right)\left( {{{\log }_5}\left( {2x + 3} \right)-2{{\log }_5}x} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x > 0\): \(\left( {{{\log }_5}\left( {2x + 3} \right)-{{\log }_5}x} \right)\left( {{{\log }_5}\left( {2x + 3} \right)-2{{\log }_5}x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_5}\left( {2x + 3} \right) = {{\log }_5}x,\;}\\{{{\log }_5}\left( {2x + 3} \right) = 2{{\log }_5}x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3 = x\;\,}\\{2x + 3 = {x^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 = 0,\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{{x^2}-2x-3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -3,}\\{x = -1,}\\{x = 3.\;\;}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {3;\,\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {3;\,\,\infty } \right).\)