98В. Решите неравенство \({\left| {\,\frac{{27 + x}}{{18 + x}}-1\,} \right|^{\;{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left| {\,2 + \frac{x}{9}\,} \right|}} \le 81\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\,-99\,;-19\,} \right] \cup \left[ {\,-17;\,\,63\,} \right].\)

Решение

\({\left| {\,\frac{{27 + x}}{{18 + x}}-1\,} \right|^{\;{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left| {\,2 + \frac{x}{9}\,} \right|}} \le 81.\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {2 + \frac{x}{9}} \right| > 0,}\\{18 + x \ne 0,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\frac{{x + 18}}{9}} \right| > 0,}\\{x \ne -18\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;x\, \in \,\left( {-\infty ;-18} \right) \cup \left( {-18;\infty } \right).\)

\({\left| {\frac{{27 + x}}{{18 + x}}-1} \right|^{{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left| {2 + \frac{x}{9}} \right|}} \le 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left| {\frac{9}{{x + 18}}} \right|^{-{{\log }_3}\left| {\frac{{x + 18}}{9}} \right|}} \le 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}{\left| {\frac{{x + 18}}{9}} \right|^{{{\log }_3}\left| {\frac{{x + 18}}{9}} \right|}} \le {\log _3}81\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left| {\frac{{x + 18}}{9}} \right| \cdot {\log _3}\left| {\frac{{x + 18}}{9}} \right| \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _3^2\left| {\frac{{x + 18}}{9}} \right| \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 \le {\log _3}\frac{{\left| {x + 18} \right|}}{9} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\frac{1}{9} \le {\log _3}\frac{{\left| {x + 18} \right|}}{9} \le {\log _3}9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{9} \le \frac{{\left| {x + 18} \right|}}{9} \le 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 \le \left| {x + 18} \right| \le 81\;\,\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x + 18} \right| \le 81,}\\{\left| {x + 18} \right| \ge 1\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-81 \le x + 18 \le 81,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 18 \le -1,}\\{x + 18 \ge 1\;\;}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-99 \le x \le 63,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -19,}\\{x \ge -17.}\end{array}\;\;\;\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\)

Найдём общее решение полученной системы:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {\,-99\,;-19\,} \right] \cup \left[ {\,-17;\,\,63\,} \right].\)

Ответ:  \(\left[ {\,-99\,;-19\,} \right] \cup \left[ {\,-17;\,\,63\,} \right].\)