\({\log _x}\left( {4-x} \right) \cdot {\log _x}\left( {x + 1} \right) \ge 0.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4-x > 0,}\\{x + 1 > 0,\,}\\{x > 0,\;\;\;\;\,\,}\\{x \ne 1\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 4,\;\;}\\{x > -1,\,}\\{x > 0,\;\,\,}\\{x \ne 1\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;4} \right).\)
Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) Запишем логарифмы в левой части исходного неравенства по основанию 2:
\(\dfrac{{{{\log }_2}\left( {4-x} \right)}}{{{{\log }_2}x}} \cdot \dfrac{{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)}}{{{{\log }_2}x}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{{{\log }_2}\left( {4-x} \right) \cdot {{\log }_2}\left( {x + 1} \right)}}{{\log _2^2x}} \ge 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;4} \right).\) Найдём нули числителя:
\({\log _2}\left( {4-x} \right) \cdot {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\left( {4-x} \right) = 0,}\\{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right) = 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4-x = 1,}\\{x + 1 = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 0.}\end{array}} \right.\)
Найдём нули знаменателя: \(\log _2^2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 1.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;3} \right].\)
Ответ: \(\left( {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;3} \right].\)