10В. Решите неравенство \({\log _{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^{x + \frac{1}{2}}}}}{7^{\frac{2}{{{x^2} + x}}}} \le \frac{4}{{2x + 1}}\).
\({\log _{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^{x + \frac{1}{2}}}}}{7^{\frac{2}{{{x^2} + x}}}} \le \frac{4}{{2x + 1}}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{7^{\frac{2}{{{x^2} + x}}}} > 0,\;\;\;\,\;}\\{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^{x + \frac{1}{2}}} > 0,}\\{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^{x + \frac{1}{2}}} \ne 1,\,}\\{2x + 1 \ne 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x \ne 0,}\\{x + \frac{1}{2} \ne 0,\,}\end{array}}\\{x \ne -\frac{1}{2}\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x + 1} \right) \ne 0,}\\{x \ne -\frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{x \ne -\frac{1}{2}\;\;\;\,\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;}\\{x \ne -1,}\end{array}}\\{x \ne -\frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{1}{2};0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) \({\log _{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^{x + \frac{1}{2}}}}}{7^{\frac{2}{{{x^2} + x}}}} \le \frac{4}{{2x + 1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\frac{2}{{{x^2} + x}}}}{{x + \frac{1}{2}}}{\log _{\sqrt 7 }}7 \le \frac{4}{{2x + 1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{8}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} + x} \right)}} \le \frac{4}{{2x + 1}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\frac{{8-4{x^2}-4x}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} + x} \right)}} \le 0\left| {:-4} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\frac{{{x^2} + x-2}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} + x} \right)}} \ge 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)x\left( {x + 1} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left[ {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-\frac{1}{2};\;0} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{1}{2};0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left[ {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-\frac{1}{2};\;0} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-\frac{1}{2};\;0} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)