\({\log _{5-x}}\left( {x + 3} \right) \le 0.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 > 0,}\\{5-x > 0,}\\{5-x \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -3,}\\{x < 5,\;\;}\\{x \ne 4\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-3;4} \right) \cup \left( {4;5} \right).\)
\({\log _{5-x}}\left( {x + 3} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{5-x}}\left( {x + 3} \right) \le {\log _{5-x}}1.\)
Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства.
\({\log _{5-x}}\left( {x + 3} \right) \le {\log _{5-x}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5-x-1} \right)\left( {x + 3-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {4-x} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-3;\;-2} \right] \cup \left( {4;\;5} \right).\)
Ответ: \(\left( {-3;\;-2} \right] \cup \left( {4;\;5} \right).\)