\({\log _{7-x}}\left( {2x + 9} \right) \le 0.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 9 > 0,}\\{7-x > 0,\;\;}\\{7-x \ne 1\;\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -\dfrac{9}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x < 7,\;\;\;\,}\\{x \ne 6\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\dfrac{9}{2};6} \right) \cup \left( {6;7} \right).\)
\({\log _{7-x}}\left( {2x + 9} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{7-x}}\left( {2x + 9} \right) \le {\log _{7-x}}1.\)
Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства.
\({\log _{7-x}}\left( {2x + 9} \right) \le {\log _{7-x}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {7-x-1} \right)\left( {2x + 9-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {6-x} \right)\left( {2x + 8} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left[ {6;\infty } \right).\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\dfrac{9}{2};\;-4} \right] \cup \left( {6;\;7} \right).\)
Ответ: \(\left( {-\dfrac{9}{2};\;-4} \right] \cup \left( {6;\;7} \right).\)