13В. Решите неравенство \({\log _{\frac{x}{3}}}\left( {3{x^2}-2x + 1} \right) \ge 0\).
\({\log _{\frac{x}{3}}}\left( {3{x^2}-2x + 1} \right) \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2}-2x + 1 > 0,}\\{\frac{x}{3} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}}\\{\frac{x}{3} \ne 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\,}\\{x \ne 3\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;3} \right) \cup \left( {3;\infty } \right).\) \({\log _{\frac{x}{3}}}\left( {3{x^2}-2x + 1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{\frac{x}{3}}}\left( {3{x^2}-2x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{x}{3}}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{\frac{x}{3}}}\left( {3{x^2}-2x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{x}{3}}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\frac{x}{3}-1} \right)\left( {3{x^2}-2x + 1-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {3{x^2}-2x} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)x\left( {3x-2} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left[ {0;\;\frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;\frac{2}{3}} \right] \cup \left( {3;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;\frac{2}{3}} \right] \cup \left( {3;\;\infty } \right).\)
