15В. Решите неравенство \({\log _{{x^2}}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right) \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)
\({\log _{{x^2}}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right) \le 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} > 0,}\\{{x^2} > 0,\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{{x^2} \ne 1\;\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,\;\;\;\,\;}\\{x \ne \pm 1\;\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,\;}\\{x \ne \pm 1\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;-1} \right) \cup \left( {-1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) \({\log _{{x^2}}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{{x^2}}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right) \le {\log _{{x^2}}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{{x^2}}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right) \le {\log _{{x^2}}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-1} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-x-2} \right)}}{{{x^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right] \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\) 
