15В. Решите неравенство  \({\log _{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) \le 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)

Решение

\({\log _{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) \le 0.\)

Запишем ОДЗ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} > 0,}\\{{x^2} > 0,\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{{x^2} \ne 1\;\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,\;\;\;\,\;}\\{x \ne  \pm 1\;\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,\;}\\{x \ne  \pm 1\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;-1} \right) \cup \left( {-1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)

\({\log _{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) \le {\log _{{x^2}}}1.\)

Неравенство вида  \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\)  равносильно неравенству  \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\)  на ОДЗ исходного неравенства.

\({\log _{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) \le {\log _{{x^2}}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-1} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-x-2} \right)}}{{{x^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Следовательно,  \(x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right] \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)

Найдём общее решение с ОДЗ:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)