17В. Решите неравенство \({\log _{6{x^2}-x-1}}\left( {2{x^2}-5x + 3} \right) \ge 0\).
\({\log _{6{x^2}-x-1}}\left( {2{x^2}-5x + 3} \right) \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2}-5x + 3 > 0,}\\{6{x^2}-x-1 > 0,\,\;\;}\end{array}}\\{6{x^2}-x-1 \ne 1\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {x-\frac{3}{2}} \right) > 0,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-\frac{1}{2}} \right)\left( {x + \frac{1}{3}} \right) > 0,}\\{\left( {x-\frac{2}{3}} \right)\left( {x + \frac{1}{2}} \right) \ne 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};\infty } \right),\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\infty } \right),}\\{x \ne \frac{2}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne -\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{1}{2};-\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\frac{2}{3}} \right) \cup \left( {\frac{2}{3};1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};\infty } \right).\) \({\log _{6{x^2}-x-1}}\left( {2{x^2}-5x + 3} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{6{x^2}-x-1}}\left( {2{x^2}-5x + 3} \right) \ge {\log _{6{x^2}-x-1}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{6{x^2}-x-1}}\left( {2{x^2}-5x + 3} \right) \ge {\log _{6{x^2}-x-1}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {6{x^2}-x-1-1} \right)\left( {2{x^2}-5x + 3-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {6{x^2}-x-2} \right)\left( {2{x^2}-5x + 2} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-\frac{2}{3}} \right)\left( {x + \frac{1}{2}} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-\frac{1}{2}} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2};\frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;\frac{2}{3}} \right) \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;\frac{2}{3}} \right) \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)
