18В. Решите неравенство \({\log _{6{x^2} + 5x}}\left( {2{x^2}-3x + 1} \right) \ge 0\).
\({\log _{6{x^2} + 5x}}\left( {2{x^2}-3x + 1} \right) \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2}-3x + 1 > 0,}\\{6{x^2} + 5x > 0,\,\;\;\;\;}\end{array}}\\{6{x^2} + 5x \ne 1\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {x-\frac{1}{2}} \right) > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {6x + 5} \right) > 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left( {x-\frac{1}{6}} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-\frac{5}{6}} \right) \cup \left( {0;\infty } \right),}\\{x \ne \frac{1}{6},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne -1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;-\frac{5}{6}} \right) \cup \left( {0;\frac{1}{6}} \right) \cup \left( {\frac{1}{6};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) \({\log _{6{x^2} + 5x}}\left( {2{x^2}-3x + 1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{6{x^2} + 5x}}\left( {2{x^2}-3x + 1} \right) \ge \;{\log _{6{x^2} + 5x}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{6{x^2} + 5x}}\left( {2{x^2}-3x + 1} \right) \ge \;{\log _{6{x^2} + 5x}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {6{x^2} + 5x-1} \right)\left( {2{x^2}-3x + 1-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {6{x^2} + 5x-1} \right)\left( {2{x^2}-3x} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-\frac{1}{6}} \right)\left( {x + 1} \right)x\left( {2x-3} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {0;\frac{1}{6}} \right] \cup \left[ {\frac{3}{2};\;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {0;\;\frac{1}{6}} \right) \cup \left[ {\frac{3}{2};\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {0;\;\frac{1}{6}} \right) \cup \left[ {\frac{3}{2};\;\infty } \right).\)
