19В. Решите неравенство \({\log _{5x}}\left( {{x^2}-14x + 48} \right) < 1\).
\({\log _{5x}}\left( {{x^2}-14x + 48} \right) < 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-14x + 48 > 0,}\\{5x > 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{5x \ne 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-8} \right)\left( {x-6} \right) > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne 0,2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;6} \right) \cup \left( {8;\infty } \right),}\\{x \in \left( {0;\infty } \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}}\\{x \ne 0,2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;0,2} \right) \cup \left( {0,2;6} \right) \cup \left( {8;\infty } \right).\) \({\log _{5x}}\left( {{x^2}-14x + 48} \right) < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{5x}}\left( {{x^2}-14x + 48} \right) < {\log _{5x}}5x.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{5x}}\left( {{x^2}-14x + 48} \right) < {\log _{5x}}5x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x-1} \right)\left( {{x^2}-14x + 48-5x} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x-1} \right)\left( {{x^2}-19x + 48} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x-1} \right)\left( {x-16} \right)\left( {x-3} \right) < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(\left( {-\infty ;0,2} \right) \cup \left( {3;\;16} \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;0,2} \right) \cup \left( {3;\;6} \right) \cup \left( {8;\;16} \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;0,2} \right) \cup \left( {3;\;6} \right) \cup \left( {8;\;16} \right).\)
