2В. Решите неравенство \({\log _{x-1}}\left( {5-x} \right) \cdot {\log _{x-1}}x \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;4} \right].\)
\({\log _{x-1}}\left( {5-x} \right) \cdot {\log _{x-1}}x \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5-x > 0,}\\{x > 0,\,\;\;\;\;}\\{x-1 > 0,}\\{x-1 \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,}\\{x > 0,}\\{x > 1,\,}\\{x \ne 2\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;5} \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) Запишем логарифмы в левой части исходного неравенства по основанию 2: \(\dfrac{{{{\log }_2}\left( {5-x} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {x-1} \right)}} \cdot \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}\left( {x-1} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{{{\log }_2}\left( {5-x} \right) \cdot {{\log }_2}x}}{{\log _2^2\left( {x-1} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;5} \right).\) Найдём нули числителя: \({\log _2}\left( {5-x} \right) \cdot {\log _2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\left( {5-x} \right) = 0,}\\{{{\log }_2}x = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5-x = 1,}\\{x = 1\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,}\\{x = 1.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(\log _2^2\left( {x-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {x-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;4} \right].\) Ответ: \(\left( {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;4} \right].\) 