20В. Решите неравенство \({\log _{7x}}\left( {{x^2}-13x + 36} \right) < 1\).
\({\log _{7x}}\left( {{x^2}-13x + 36} \right) < 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-13x + 36 > 0,}\\{7x > 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{7x \ne 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-9} \right)\left( {x-4} \right) > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne \frac{1}{7}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;4} \right) \cup \left( {9;\infty } \right),}\\{x \in \left( {0;\infty } \right),\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}}\\{x \ne \frac{1}{7}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\frac{1}{7}} \right) \cup \left( {\frac{1}{7};4} \right) \cup \left( {9;\infty } \right).\) \({\log _{7x}}\left( {{x^2}-13x + 36} \right) < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{7x}}\left( {{x^2}-13x + 36} \right) < {\log _{7x}}7x.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{7x}}\left( {{x^2}-13x + 36} \right) < {\log _{7x}}7x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {7x-1} \right)\left( {{x^2}-13x + 36-7x} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {7x-1} \right)\left( {{x^2}-20x + 36} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {7x-1} \right)\left( {x-18} \right)\left( {x-2} \right) < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(\left( {-\infty ;\frac{1}{7}} \right) \cup \left( {2;\;18} \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;\frac{1}{7}} \right) \cup \left( {2;\;4} \right) \cup \left( {9;\;18} \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;\frac{1}{7}} \right) \cup \left( {2;\;4} \right) \cup \left( {9;\;18} \right).\)
