21В. Решите неравенство \({2^{\lg \left( {\cos \left( {-6\pi } \right)} \right)}} \ge {\log _{{x^2}}}\left( {2{x^2}-6x + 9} \right)\).
\({2^{\lg \left( {\cos \left( {-6\pi } \right)} \right)}} \ge {\log _{{x^2}}}\left( {2{x^2}-6x + 9} \right).\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{{x^2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2{x^2}-6x + 9 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \pm 1,}\\{x \ne 0,}\\{x \in R}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Заметим, что \(\cos \left( {-6\pi } \right) = 1.\) Тогда исходное неравенство примет вид: \({2^{\lg 1}} \ge {\log _{{x^2}}}\left( {2{x^2}-6x + 9} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^0} \ge {\log _{{x^2}}}\left( {2{x^2}-6x + 9} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{{x^2}}}\left( {2{x^2}-6x + 9} \right) \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{{x^2}}}\left( {2{x^2}-6x + 9} \right) \le {\log _{{x^2}}}{x^2}.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{{x^2}}}\left( {2{x^2}-6x + 9} \right) \le {\log _{{x^2}}}{x^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-1} \right)\left( {2{x^2}-6x + 9-{x^2}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right){\left( {x-3} \right)^2} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left[ {-1;1} \right] \cup \left\{ 3 \right\}.\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left\{ 3 \right\}.\) Ответ: \(\left( {-1;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left\{ 3 \right\}.\)
