23В. Решите неравенство \({\log _{x + 2}}\left( {7{x^2} + 11x-6} \right) < 2\).
\({\log _{x + 2}}\left( {7{x^2} + 11x-6} \right) < 2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{x + 2 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{7{x^2} + 11x-6 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{x > -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}}\\{\left( {x-\frac{3}{7}} \right)\left( {x + 2} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{x > -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}}\\{x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {\frac{3}{7};\infty } \right)\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\frac{3}{7};\infty } \right).\) \({\log _{x + 2}}\left( {7{x^2} + 11x-6} \right) < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 2}}\left( {7{x^2} + 11x-6} \right) < {\log _{x + 2}}{\left( {x + 2} \right)^2}.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{x + 2}}\left( {7{x^2} + 11x-6} \right) < {\log _{x + 2}}{\left( {x + 2} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 2-1} \right)\left( {7{x^2} + 11x-6-{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1} \right)\left( {7{x^2} + 11x-6-{x^2}-4x-4} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1} \right)\left( {6{x^2} + 7x-10} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1} \right)\left( {x-\frac{5}{6}} \right)\left( {x + 2} \right)\,\, < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {-1;\frac{5}{6}} \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\frac{3}{7};\;\frac{5}{6}} \right).\) Ответ: \(\left( {\frac{3}{7};\;\frac{5}{6}} \right).\)
