24В. Решите неравенство \({\log _{x + 1}}\left( {6{x^2} + x-5} \right) < 2\).
\({\log _{x + 1}}\left( {6{x^2} + x-5} \right) < 2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ne 1,\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{x + 1 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{6{x^2} + x-5 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{x > -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}}\\{\left( {x-\frac{5}{6}} \right)\left( {x + 1} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{x > -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}}\\{x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {\frac{5}{6};\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\frac{5}{6};\infty } \right).\) \({\log _{x + 1}}\left( {6{x^2} + x-5} \right) < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 1}}\left( {6{x^2} + x-5} \right) < {\log _{x + 1}}{\left( {x + 1} \right)^2}.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{x + 1}}\left( {6{x^2} + x-5} \right) < {\log _{x + 1}}{\left( {x + 1} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1-1} \right)\left( {6{x^2} + x-5-{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {6{x^2} + x-5-{x^2}-2x-1} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {5{x^2}-x-6} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x-\frac{6}{5}} \right)\left( {x + 1} \right)\,\, < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {0;\frac{6}{5}} \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\frac{5}{6};\;\frac{6}{5}} \right).\) Ответ: \(\left( {\frac{5}{6};\;\frac{6}{5}} \right).\)
