25В. Решите неравенство \({\log _{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{\left( {x-2} \right)^2} \le 1\).
ОТВЕТ: \(\left( {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;1,5} \right] \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)
\({\log _{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{\left( {x-2} \right)^2} \le 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-1} \right)}^2} \ne 1,\,}\\{{{\left( {x-1} \right)}^2} > 0,}\\{{{\left( {x-2} \right)}^2} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-1 \ne 1,\;\;}\\{x-1 \ne -1,}\\{x-1 \ne 0,\;\,}\\{x-2 \ne 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2,}\\{x \ne 0,}\\{x \ne 1,\,}\\{x \ne 2\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) \({\log _{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{\left( {x-2} \right)^2} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{\left( {x-2} \right)^2} \le {\log _{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{\left( {x-1} \right)^2}.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{\left( {x-2} \right)^2} \le {\log _{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{\left( {x-1} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\left( {x-1} \right)}^2}-1} \right)\left( {{{\left( {x-2} \right)}^2}-{{\left( {x-1} \right)}^2}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1-1} \right)\left( {x-1 + 1} \right)\left( {x-2 + x-1} \right)\left( {x-2-x + 1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-2} \right)x\left( {2x-3} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left[ {0;1,5} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;1,5} \right] \cup \left( {2;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;1,5} \right] \cup \left( {2;\;\infty } \right).\) 
