27В. Решите неравенство \({\log _{x + 2}}\left( {{x^2}-5x + 1} \right) \le {\log _{\frac{{4x + 5}}{{5x + 6}}}}1\).
\({\log _{x + 2}}\left( {{x^2}-5x + 1} \right) \le {\log _{\frac{{4x + 5}}{{5x + 6}}}}1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x + 2 \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-5x + 1 > 0,}\\{\frac{{4x + 5}}{{5x + 6}} > 0,\;\;\;\;\;}\\{\frac{{4x + 5}}{{5x + 6}} \ne 1\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{x \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{\left( {x-\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\left( {x-\frac{{5-\sqrt {21} }}{2}} \right) > 0,}\\{\frac{{4x + 5}}{{5x + 6}} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{{x + 1}}{{5x + 6}} \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{x \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;\frac{{5-\sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2};\infty } \right),}\\{x \in \left( {-\infty ;-\frac{5}{4}} \right) \cup \left( {-\frac{6}{5};\infty } \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne -1,\;\;\;\;x \ne -\frac{6}{5}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;-\frac{5}{4}} \right) \cup \left( {-\frac{6}{5};-1} \right) \cup \left( {-1;\frac{{5-\sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2};\infty } \right).\) \({\log _{x + 2}}\left( {{x^2}-5x + 1} \right) \le {\log _{\frac{{4x + 5}}{{5x + 6}}}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 2}}\left( {{x^2}-5x + 1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 2}}\left( {{x^2}-5x + 1} \right) \le {\log _{x + 2}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{x + 2}}\left( {{x^2}-5x + 1} \right) \le {\log _{x + 2}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 2-1} \right)\left( {{x^2}-5x + 1-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-5x} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1} \right)x\left( {x-5} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {0;5} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-2;\;-\frac{5}{4}} \right) \cup \left( {-\frac{6}{5};\;-1} \right) \cup \left[ {0;\;\frac{{5-\sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2};\;5} \right].\) Ответ: \(\left( {-2;\;-\frac{5}{4}} \right) \cup \left( {-\frac{6}{5};\;-1} \right) \cup \left[ {0;\;\frac{{5-\sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2};\;5} \right].\)
