28В. Решите неравенство \({\log _{x + 3}}\left( {{x^2}-3x + 1} \right) \le {\log _{\frac{{2x + 5}}{{3x + 7}}}}1\).
\({\log _{x + 3}}\left( {{x^2}-3x + 1} \right) \le {\log _{\frac{{2x + 5}}{{3x + 7}}}}1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x + 3 \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-3x + 1 > 0,}\\{\frac{{2x + 5}}{{3x + 7}} > 0,\;\;\;\;\;}\\{\frac{{2x + 5}}{{3x + 7}} \ne 1\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{x \ne -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{\left( {x-\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {x-\frac{{3-\sqrt 5 }}{2}} \right) > 0,}\\{\frac{{2x + 5}}{{3x + 7}} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{{x + 2}}{{3x + 7}} \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{x \ne -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;\frac{{3-\sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};\infty } \right),}\\{x \in \left( {-\infty ;-\frac{5}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{7}{3};\infty } \right),\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne -2,\;\;\;\;x \ne -\frac{7}{3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-3;-\frac{5}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{7}{3};-2} \right) \cup \left( {-2;\frac{{3-\sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};\infty } \right).\) \({\log _{x + 3}}\left( {{x^2}-3x + 1} \right) \le {\log _{\frac{{2x + 5}}{{3x + 7}}}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 3}}\left( {{x^2}-3x + 1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 3}}\left( {{x^2}-3x + 1} \right) \le {\log _{x + 3}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{x + 3}}\left( {{x^2}-3x + 1} \right) \le {\log _{x + 3}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 3-1} \right)\left( {{x^2}-3x + 1-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2}-3x} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 2} \right)x\left( {x-3} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {0;3} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-3;\;-\frac{5}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{7}{3};\;-2} \right) \cup \left[ {0;\;\frac{{3-\sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};\;3} \right].\) Ответ: \(\left( {-3;\;-\frac{5}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{7}{3};\;-2} \right) \cup \left[ {0;\;\frac{{3-\sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};\;3} \right].\)
