29В. Решите неравенство \({\log _{2x + 4}}{\left( {2x-3} \right)^2} \le 2{\log _{2x + 4}}\left( {x + 2} \right)\).
\({\log _{2x + 4}}{\left( {2x-3} \right)^2} \le 2{\log _{2x + 4}}\left( {x + 2} \right).\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 4 > 0,\;\;\;\,}\\{2x + 4 \ne 1,\;\;\;\;}\\{{{\left( {2x-3} \right)}^2} > 0,}\\{x + 2 > 0\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,\;\,}\\{x \ne -\frac{3}{2},}\\{x \ne \frac{3}{2},\;\;\,}\\{x > -2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;-\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};\infty } \right).\) \({\log _{2x + 4}}{\left( {2x-3} \right)^2} \le 2{\log _{2x + 4}}\left( {x + 2} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{2x + 4}}{\left( {2x-3} \right)^2} \le {\log _{2x + 4}}{\left( {x + 2} \right)^2}.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{2x + 4}}{\left( {2x-3} \right)^2} \le {\log _{2x + 4}}{\left( {x + 2} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2x + 4-1} \right)\left( {{{\left( {2x-3} \right)}^2}-{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2x + 3} \right)\left( {2x-3 + x + 2} \right)\left( {2x-3-x-2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2x + 3} \right)\left( {3x-1} \right)\left( {x-5} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{3};5} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-2;\;-\frac{3}{2}} \right) \cup \left[ {\frac{1}{3};\;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};\;5} \right].\) Ответ: \(\left( {-2;\;-\frac{3}{2}} \right) \cup \left[ {\frac{1}{3};\;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};\;5} \right].\)
