3В. Решите неравенство  \(\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \cdot {\log _{x + 3}}\left( {x + 2} \right) \cdot {\log _3}{\left( {x-1} \right)^2} \le 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ {-1} \right\} \cup \left[ {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\)

Решение

\(\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \cdot {\log _{x + 3}}\left( {x + 2} \right) \cdot {\log _3}{\left( {x-1} \right)^2} \le 0.\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 > 0,\;\;\;\,}\\{{{\left( {x-1} \right)}^2} > 0,}\\{x + 3 > 0,\;\;\;\,}\\{x + 3 \ne 1\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,\,}\\{x \ne 1,\;\;\;}\\{x > -3,\,}\\{x \ne -2\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)

Воспользуемся свойством перехода к новому основанию:  \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\)

\(\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \cdot {\log _{x + 3}}\left( {x + 2} \right) \cdot {\log _3}{\left( {x-1} \right)^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \cdot {{\log }_3}\left( {x + 2} \right) \cdot {{\log }_3}{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{{{{\log }_3}\left( {x + 3} \right)}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что  \(x \in \left( {-2;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)  Найдём нули числителя:

\(\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \cdot {\log _3}\left( {x + 2} \right) \cdot {\log _3}{\left( {x-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x + 2 = 0,}\\{{{\log }_3}\left( {x + 2} \right) = 0,}\\{{{\log }_3}{{\left( {x-1} \right)}^2} = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,\;\;\;\,\;\;}\\{x = -2,\;\;\;\;\;}\\{x + 2 = 1,\;\,\,}\\{{{\left( {x-1} \right)}^2} = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,\;\;\,\;}\\{x = -2,\;\,\,\;}\\{x = -1,\;\;\,\;}\\{x-1 = 1,\;\,}\\{x-1 = -1}\end{array}} \right.\,\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = -2,}\\{x = 2,\;\,}\\{x = 0.\;\;}\end{array}} \right.\)

Найдём нули знаменателя:

\({\log _3}\left( {x + 3} \right) \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + 3 \ne 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne -2.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left\{ {-1} \right\} \cup \left[ {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\)

Ответ:  \(\left\{ {-1} \right\} \cup \left[ {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\)