30В. Решите неравенство \({\log _{2x + 2}}{\left( {2x-5} \right)^2} \le 2{\log _{2x + 2}}\left( {x + 1} \right)\).
\({\log _{2x + 2}}{\left( {2x-5} \right)^2} \le 2{\log _{2x + 2}}\left( {x + 1} \right).\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 2 > 0,\;\;\;\,}\\{2x + 2 \ne 1,\;\;\;\;}\\{{{\left( {2x-5} \right)}^2} > 0,}\\{x + 1 > 0\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,\;\,}\\{x \ne -\frac{1}{2},}\\{x \ne \frac{5}{2},\;\;\,}\\{x > -1\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-1;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2};\infty } \right).\) \({\log _{2x + 2}}{\left( {2x-5} \right)^2} \le 2{\log _{2x + 2}}\left( {x + 1} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{2x + 2}}{\left( {2x-5} \right)^2} \le {\log _{2x + 2}}{\left( {x + 1} \right)^2}.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{2x + 2}}{\left( {2x-5} \right)^2} \le {\log _{2x + 2}}{\left( {x + 1} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2x + 2-1} \right)\left( {{{\left( {2x-5} \right)}^2}-{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2x + 1} \right)\left( {2x-5 + x + 1} \right)\left( {2x-5-x-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2x + 1} \right)\left( {3x-4} \right)\left( {x-6} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{4}{3};6} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-1;\;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {\frac{4}{3};\;\frac{5}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2};\;6} \right].\) Ответ: \(\left( {-1;\;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {\frac{4}{3};\;\frac{5}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2};\;6} \right].\)
