31В. Решите неравенство \({\log _x}\left( {x + 4} \right) \cdot {\log _{x + 4}}\left( {x + 8} \right) \cdot {\log _{x + 8}}\left( {x + 12} \right) \le 2\).
\({\log _x}\left( {x + 4} \right) \cdot {\log _{x + 4}}\left( {x + 8} \right) \cdot {\log _{x + 8}}\left( {x + 12} \right) \le 2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x + 4 > 0,\,}\\{x + 4 \ne 1,\;}\\{x + 8 > 0,\;}\\{x + 8 \ne 1,\;\,}\\{x + 12 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\;\,}\\{x > -4,\,\,}\\{x \ne -3,\;}\\{x > -8,\;}\\{x \ne -7,\;}\\{x > -12}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Воспользуемся свойствами \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) и \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}:\) \({\log _x}\left( {x + 4} \right) \cdot {\log _{x + 4}}\left( {x + 8} \right) \cdot {\log _{x + 8}}\left( {x + 12} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_{x + 4}}\left( {x + 8} \right)}}{{{{\log }_{x + 4}}x}} \cdot {\log _{x + 8}}\left( {x + 12} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _x}\left( {x + 8} \right) \cdot {\log _{x + 8}}\left( {x + 12} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_{x + 8}}\left( {x + 12} \right)}}{{{{\log }_{x + 8}}x}} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _x}\left( {x + 12} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,{\log _x}\left( {x + 12} \right) \le {\log _x}{x^2}.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _x}\left( {x + 12} \right) \le {\log _x}{x^2}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + 12-{x^2}} \right) \le 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {{x^2}-x-12} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x-4} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left[ {-3;1} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;1} \right) \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;1} \right) \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)
