32В. Решите неравенство \({\log _x}\left( {x + 10} \right) \cdot {\log _{x + 10}}\left( {x + 20} \right) \cdot {\log _{x + 20}}\left( {x + 30} \right) \le 2\).
\({\log _x}\left( {x + 10} \right) \cdot {\log _{x + 10}}\left( {x + 20} \right) \cdot {\log _{x + 20}}\left( {x + 30} \right) \le 2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x + 10 > 0,\,}\\{x + 10 \ne 1,\;}\\{x + 20 > 0,}\\{x + 20 \ne 1,\,}\\{x + 30 > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\,\;\,}\\{x > -10,}\\{x \ne -9,\,\;}\\{x > -20,}\\{x \ne -19,}\\{x > -30\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Воспользуемся свойствами \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) и \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}:\) \({\log _x}\left( {x + 10} \right) \cdot {\log _{x + 10}}\left( {x + 20} \right) \cdot {\log _{x + 20}}\left( {x + 30} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_{x + 10}}\left( {x + 20} \right)}}{{{{\log }_{x + 10}}x}} \cdot {\log _{x + 20}}\left( {x + 30} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _x}\left( {x + 20} \right) \cdot {\log _{x + 20}}\left( {x + 30} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_{x + 20}}\left( {x + 30} \right)}}{{{{\log }_{x + 20}}x}} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _x}\left( {x + 30} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,{\log _x}\left( {x + 30} \right) \le {\log _x}{x^2}.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _x}\left( {x + 30} \right) \le {\log _x}{x^2}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + 30-{x^2}} \right) \le 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {{x^2}-x-30} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x-6} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left[ {-5;1} \right] \cup \left[ {6;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;1} \right) \cup \left[ {6;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;1} \right) \cup \left[ {6;\;\infty } \right).\)
