\({\log _x}\left( {{x^3}-1} \right) \le {\log _x}\left( {{x^3} + 2x-4} \right).\)
Так как \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-1 > 0,}\\{x > 0,\;\;\;\;\;\,\,}\\{x \ne 1\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x > 1,\) то исходное неравенство равносильно следующей системе неравенств:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^3}-1 \le {x^3} + 2x-4}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\;\;\;\;\;\;\,}\\{2x-3 \ge 0}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\;\,\,}\\{x \ge 1,5}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,x \in \left[ {1,5;\infty } \right).\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {1,5;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left[ {1,5;\;\infty } \right).\)
Замечание: при решении неравенства мы не учитывали, что \({x^3} + 2x-4 > 0,\) так как при решении неравенства \({x^3}-1 \le {x^3} + 2x-4\) условие \({x^3} + 2x-4 > 0\) выполнится автоматически в силу того, что \({x^3}-1 > 0\) при \(x > 1.\)