35В. Решите неравенство \(\frac{{{{\log }_{x + 3}}\left( {{x^2}-x + 30} \right)}}{{{{\log }_{x + 3}}\left( {{x^2}-x-1} \right)}} \ge \frac{{\lg \left( {{x^4}-2{x^3} + {x^2}} \right)}}{{\lg \left( {{x^2}-x-1} \right)}}\).
\(\frac{{{{\log }_{x + 3}}\left( {{x^2}-x + 30} \right)}}{{{{\log }_{x + 3}}\left( {{x^2}-x-1} \right)}} \ge \frac{{\lg \left( {{x^4}-2{x^3} + {x^2}} \right)}}{{\lg \left( {{x^2}-x-1} \right)}}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\,}\\{x + 3 \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{x^2}-x + 30 > 0,\;\;\;\,}\\{{x^2}-x-1 > 0,\,\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2}-x-1 \ne 1,\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^4}-2{x^3} + {x^2} > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -3,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne -2,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x\, \in \,R,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\,\left( {x-\frac{{1-\sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {x-\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) > 0,}\\{x \ne -1,\,\,\,\,\,\,x \ne 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}{{\left( {x-1} \right)}^2} > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \(\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -3,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne -2,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x\, \in \,R,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{{1-\sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\infty } \right),}\\{x \ne -1,\,\,\,\,\,\,x \ne 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 0,\,\,\,\,\,\,x \ne 1\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-3;-2} \right) \cup \left( {-2;-1} \right) \cup \left( {-1;\frac{{1-\sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) \(\frac{{{{\log }_{x + 3}}\left( {{x^2}-x + 30} \right)}}{{{{\log }_{x + 3}}\left( {{x^2}-x-1} \right)}} \ge \frac{{\lg \left( {{x^4}-2{x^3} + {x^2}} \right)}}{{\lg \left( {{x^2}-x-1} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{{x^2}-x-1}}\left( {{x^2}-x + 30} \right) \ge {{\log }_{{x^2}-x-1}}\left( {{x^2}{{\left( {x-1} \right)}^2}} \right),}\\{x \ne -2.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{{x^2}-x-1}}\left( {{x^2}-x + 30} \right) \ge {\log _{{x^2}-x-1}}\left( {{x^2}{{\left( {x-1} \right)}^2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left( {{x^2}-x-1-1} \right)\left( {{x^2}-x + 30-{x^2}{{\left( {x-1} \right)}^2}} \right) \ge 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left( {{x^2}-x-2} \right)\left( {{x^2}-x + 30-{{\left( {{x^2}-x} \right)}^2}} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-x-2} \right)\left( {{{\left( {{x^2}-x} \right)}^2}-\left( {{x^2}-x} \right)-30} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left( {{x^2}-x-2} \right)\left( {{{\left( {{x^2}-x} \right)}^2}-\left( {{x^2}-x} \right)-30} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-2 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{{\left( {{x^2}-x} \right)}^2}-\left( {{x^2}-x} \right)-30 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\,}\\{{{\left( {{x^2}-x} \right)}^2}-\left( {{x^2}-x} \right)-30 = 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим второе уравнение полученной совокупности. Пусть \({x^2}-x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-t-30 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 5} \right)\left( {t-6} \right) = 0.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right) = 0,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\left( {{x^2}-x + 5} \right)\left( {{x^2}-x-6} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right) = 0,}\\{{x^2}-x + 5 = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-x-6 = 0\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right) = 0,}\\{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{\left( {x-3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,\,}\\{x = 2,\,\;\,}\\{x = 3,\;\,\,}\\{x = -2.}\end{array}} \right.\) Следовательно, \(x \in \left[ {-2;-1} \right] \cup \left[ {2;3} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {2;\;3} \right].\) Ответ: \(\left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {2;\;3} \right].\)
