36В. Решите неравенство \(\frac{{{{\log }_{x + 5}}\left( {{x^2} + 2x + 56} \right)}}{{{{\log }_{x + 5}}\left( {{x^2} + 2x-2} \right)}} \ge \frac{{{{\log }_2}\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{x^2} + 2x-2} \right)}}\).
\(\frac{{{{\log }_{x + 5}}\left( {{x^2} + 2x + 56} \right)}}{{{{\log }_{x + 5}}\left( {{x^2} + 2x-2} \right)}} \ge \frac{{{{\log }_2}\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{x^2} + 2x-2} \right)}}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 > 0,\,\,\,\,\,\;\;\;\,\,\;\;\,\,\,\;\;\,}\\{x + 5 \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{{x^2} + 2x + 56 > 0,\;\;\,}\\{{x^2} + 2x-2 > 0,\,\;\;\;\,}\\{{x^2} + 2x-2 \ne 1,\;\;\;\;\;}\\{{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -5,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne -4,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x\, \in \,R,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\,\left( {x-\left( {-1-\sqrt 3 } \right)} \right)\left( {x-\left( {-1 + \sqrt 3 } \right)} \right) > 0,}\\{x \ne -3,\,\,\,\,\,\,x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \(\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -5,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne -4,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\,}\\{x\, \in \,R,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\,x\, \in \,\left( {-\infty ;-1-\sqrt 3 } \right) \cup \left( {-1 + \sqrt 3 ;\infty } \right),}\\{x \ne -3,\,\,\,\,\,\,x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{x \ne 0,\;\;\;\;x \ne -2\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-5;-4} \right) \cup \left( {-4;-3} \right) \cup \left( {-3;-1-\sqrt 3 } \right) \cup \left( {-1 + \sqrt 3 ;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) \(\frac{{{{\log }_{x + 5}}\left( {{x^2} + 2x + 56} \right)}}{{{{\log }_{x + 5}}\left( {{x^2} + 2x-2} \right)}} \ge \frac{{{{\log }_2}\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{x^2} + 2x-2} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{{x^2} + 2x-2}}\left( {{x^2} + 2x + 56} \right) \ge {{\log }_{{x^2} + 2x-2}}\left( {{x^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right),}\\{x \ne -4.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{{x^2} + 2x-2}}\left( {{x^2} + 2x + 56} \right) \ge {\log _{{x^2} + 2x-2}}\left( {{x^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left( {{x^2} + 2x-2-1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 56-{x^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right) \ge 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left( {{x^2} + 2x-3} \right)\left( {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}-\left( {{x^2} + 2x} \right)-56} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left( {{x^2} + 2x-3} \right)\left( {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}-\left( {{x^2} + 2x} \right)-56} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x-3 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}-\left( {{x^2} + 2x} \right)-56 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 3} \right)\left( {x-1} \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\,\;\,\,}\\{{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}-\left( {{x^2} + 2x} \right)-56 = 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим второе уравнение полученной совокупности. Пусть \({x^2} + 2x = t.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2}-t-56 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 7} \right)\left( {t-8} \right) = 0.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 3} \right)\left( {x-1} \right) = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\,\,}\\{{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}-\left( {{x^2} + 2x} \right)-56 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 3} \right)\left( {x-1} \right) = 0,}\\{{x^2} + 2x + 7 = 0,\;\;\;}\\{{x^2} + 2x-8 = 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 3} \right)\left( {x-1} \right) = 0,}\\{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{\left( {x-2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -3,}\\{x = 1,\,\;\,}\\{x = 2,\;\,\,}\\{x = -4.}\end{array}} \right.\) Следовательно, \(x \in \left[ {-4;-3} \right] \cup \left[ {1;2} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-4;\;-3} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\) Ответ: \(\left( {-4;\;-3} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\)
