37В. Решите неравенство \({\log _{4-x}}\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^8}}}{{x + 5}} \ge 8\).
\({\log _{4-x}}\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^8}}}{{x + 5}} \ge 8.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^8}}}{{x + 5}} > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{4-x > 0,\,\,\;\;\;\,}\\{4-x \ne 1\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-5;4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right),}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x < 4,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x \ne 3.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-5;3} \right) \cup \left( {3;4} \right).\) \({\log _{4-x}}\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^8}}}{{x + 5}} \ge 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8-{\log _{4-x}}\frac{{{{\left( {4-x} \right)}^8}}}{{x + 5}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{4-x}}{\left( {4-x} \right)^8}-{\log _{4-x}}\frac{{{{\left( {4-x} \right)}^8}}}{{x + 5}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{4-x}}\frac{{{{\left( {4-x} \right)}^2}\left( {x + 5} \right)}}{{{{\left( {4-x} \right)}^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{4-x}}\left( {x + 5} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{4-x}}\left( {x + 5} \right) \le {\log _{4-x}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{4-x}}\left( {x + 5} \right) \le {\log _{4-x}}1\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {4-x-1} \right)\left( {x + 5-1} \right) \le 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {3-x} \right)\left( {x + 4} \right) \le 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left[ {3;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-5;\;-4} \right] \cup \left( {3;\;4} \right).\) Ответ: \(\left( {-5;\;-4} \right] \cup \left( {3;\;4} \right).\)