38В. Решите неравенство \({\log _{5-x}}\dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {x-5} \right)}^4}}} \ge -4\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-1;\;4} \right).\)
\({\log _{5-x}}\dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {x-5} \right)}^4}}} \ge -4.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {x-5} \right)}^4}}} > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{5-x > 0,\,\,\;\;\;\,}\\{5-x \ne 1\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-2;5} \right) \cup \left( {5;\infty } \right),}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x \ne 4.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;4} \right) \cup \left( {4;5} \right).\) \({\log _{5-x}}\dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {x-5} \right)}^4}}} \ge -4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{5-x}}\dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {5-x} \right)}^4}}} + 4 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{5-x}}\dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {5-x} \right)}^4}}} + {\log _{5-x}}{\left( {5-x} \right)^4} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{5-x}}\dfrac{{\left( {x + 2} \right){{\left( {5-x} \right)}^4}}}{{{{\left( {5-x} \right)}^4}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{5-x}}\left( {x + 2} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{5-x}}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _{5-x}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{5-x}}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _{5-x}}1\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5-x-1} \right)\left( {x + 2-1} \right) \ge 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {4-x} \right)\left( {x + 1} \right) \ge 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-1;4} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-1;\;4} \right).\) Ответ: \(\left[ {-1;\;4} \right).\) 