39В. Решите неравенство \({\log _{x + 6}}{\left( {\frac{{x-4}}{x}} \right)^2} + {\log _{x + 6}}\frac{x}{{x-4}} \le 1\).
\({\log _{x + 6}}{\left( {\frac{{x-4}}{x}} \right)^2} + {\log _{x + 6}}\frac{x}{{x-4}} \le 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{{x-4}}{x}} \right)}^2} > 0,}\\{\frac{x}{{x-4}} > 0,\;\;\;\;\;}\\{x + 6 > 0,\;\;\;\;\;}\\{x + 6 \ne 1\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {4;\infty } \right),}\\{x > -6,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne -5\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;x \in \left( {-6;-5} \right) \cup \left( {-5;0} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).\) \({\log _{x + 6}}{\left( {\frac{{x-4}}{x}} \right)^2} + {\log _{x + 6}}\frac{x}{{x-4}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 6}}\left( {{{\left( {\frac{{x-4}}{x}} \right)}^2} \cdot \frac{x}{{x-4}}} \right) \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 6}}\left( {\frac{{x-4}}{x}} \right) \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;\;\;{\log _{x + 6}}\left( {\frac{{x-4}}{x}} \right) \le {\log _{x + 6}}\left( {x + 6} \right).\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{x + 6}}\left( {\frac{{x-4}}{x}} \right) \le {\log _{x + 6}}\left( {x + 6} \right)\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 6-1} \right)\left( {\frac{{x-4}}{x}-x-6} \right) \le 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)}}{x} \ge 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{x} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-5} \right] \cup \left[ {-4;-1} \right] \cup \left( {0;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-6;\;-5} \right) \cup \left[ {-4;\;-1} \right] \cup \left( {4;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-6;\;-5} \right) \cup \left[ {-4;\;-1} \right] \cup \left( {4;\;\infty } \right).\)
