4В. Решите неравенство \(\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) \cdot {\log _{x + 5}}\left( {x + 4} \right) \cdot {\log _5}{\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left\{ {-3} \right\} \cup \left[ {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right].\)
\(\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) \cdot {\log _{x + 5}}\left( {x + 4} \right) \cdot {\log _5}{\left( {x + 1} \right)^2} \le 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4 > 0,\;\;\;\,}\\{{{\left( {x + 1} \right)}^2} > 0,}\\{x + 5 > 0,\;\;\;\,}\\{x + 5 \ne 1\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -4,}\\{x \ne -1,}\\{x > -5,}\\{x \ne -4\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-4;-1} \right) \cup \left( {-1;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \(\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) \cdot {\log _{x + 5}}\left( {x + 4} \right) \cdot {\log _5}{\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) \cdot {{\log }_5}\left( {x + 4} \right) \cdot {{\log }_5}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\log }_5}\left( {x + 5} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x \in \left( {-4;-1} \right) \cup \left( {-1;\infty } \right).\) Найдём нули числителя: \(\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) \cdot {\log _5}\left( {x + 4} \right) \cdot {\log _5}{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 7x + 12 = 0,}\\{{{\log }_5}\left( {x + 4} \right) = 0,\;}\\{{{\log }_5}{{\left( {x + 1} \right)}^2} = 0\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -4,\;\;\;\;\;}\\{x = -3,\;\;\;\;\;}\\{x + 4 = 1,\;\,\,}\\{{{\left( {x + 1} \right)}^2} = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -4,\;\;\,\;}\\{x = -3,\;\,\,\,\;}\\{x = -3,\,\;\,\,\;}\\{x + 1 = 1,\;\,}\\{x + 1 = -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -4,}\\{x = -3,}\\{x = 0,\;\,}\\{x = -2.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \({\log _5}\left( {x + 5} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + 5 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -4.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left\{ {-3} \right\} \cup \left[ {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right].\) Ответ: \(\left\{ {-3} \right\} \cup \left[ {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right].\) 