40В. Решите неравенство \({\log _{x + 7}}{\left( {\dfrac{{3-x}}{{x + 1}}} \right)^2} \le 1-{\log _{x + 7}}\dfrac{{x + 1}}{{x-3}}\).
ОТВЕТ: \(\left( {-7;\;-6} \right) \cup \left[ {-5;\;-2} \right] \cup \left( {3;\;\infty } \right).\)
\({\log _{x + 7}}{\left( {\dfrac{{3-x}}{{x + 1}}} \right)^2} \le 1-{\log _{x + 7}}\dfrac{{x + 1}}{{x-3}}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\dfrac{{3-x}}{{x + 1}}} \right)}^2} > 0,}\\{\dfrac{{x + 1}}{{x-3}} > 0,\;\;\;\;\;}\\{x + 7 > 0,\;\;\;\;\;}\\{x + 7 \ne 1\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {3;\infty } \right),}\\{x > -7,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne -6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-7;-6} \right) \cup \left( {-6;-1} \right) \cup \left( {3;\infty } \right).\) \({\log _{x + 7}}{\left( {\dfrac{{3-x}}{{x + 1}}} \right)^2} \le 1-{\log _{x + 7}}\dfrac{{x + 1}}{{x-3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 7}}\left( {{{\left( {\dfrac{{x-3}}{{x + 1}}} \right)}^2} \cdot \dfrac{{x + 1}}{{x-3}}} \right) \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 7}}\left( {\dfrac{{x-3}}{{x + 1}}} \right) \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;\;\;{\log _{x + 7}}\left( {\dfrac{{x-3}}{{x + 1}}} \right) \le {\log _{x + 7}}\left( {x + 7} \right).\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{x + 7}}\left( {\dfrac{{x-3}}{{x + 1}}} \right) \le {\log _{x + 7}}\left( {x + 7} \right)\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 7-1} \right)\left( {\dfrac{{x-3}}{{x + 1}}-x-7} \right) \le 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x + 6} \right)\left( {{x^2} + 7x + 10} \right)}}{{x + 1}} \ge 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x + 6} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x + 1}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-6} \right] \cup \left[ {-5;-2} \right] \cup \left( {-1;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-7;\;-6} \right) \cup \left[ {-5;\;-2} \right] \cup \left( {3;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-7;\;-6} \right) \cup \left[ {-5;\;-2} \right] \cup \left( {3;\;\infty } \right).\) 
