41В. Решите неравенство \({\log _{5x + 7}}\left( {{{\log }_{7-x}}\left( {x + 3} \right)} \right) \ge 0\).
\({\log _{5x + 7}}\left( {{{\log }_{7-x}}\left( {x + 3} \right)} \right) \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x + 7 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{5x + 7 \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{7-x > 0,\,\,\,\,\,\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{7-x \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x + 3 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\log }_{7-x}}\left( {x + 3} \right) > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -\frac{7}{5},\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne -\frac{6}{5},\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{x < 7,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 6,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{x > -3,\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_{7-x}}\left( {x + 3} \right) > 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим последнее неравенство полученной системы: \({\log _{7-x}}\left( {x + 3} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{7-x}}\left( {x + 3} \right) > {\log _{7-x}}1.\) Запишем ОДЗ для этого неравенства: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 > 0,}\\{7-x > 0,}\\{7-x \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -3,}\\{x < 7,\;\,}\\{x \ne 6\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {-3;6} \right) \cup \left( {6;7} \right).\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{7-x}}\left( {x + 3} \right) > {\log _{7-x}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {7-x-1} \right)\left( {x + 3-1} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {6-x} \right)\left( {x + 2} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;x \in \left( {-2;6} \right)\,.\) Так как ОДЗ \(\left( {-3;6} \right) \cup \left( {6;7} \right),\) то решение неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {-2;6} \right)\,.\) Вернёмся к ОДЗ исходного неравенства: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -\frac{7}{5},\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne -\frac{6}{5},\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{x < 7,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 6,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{x > -3,\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_{7-x}}\left( {x + 3} \right) > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -\frac{7}{5},\;\;\;\;\,}\\{x \ne -\frac{6}{5},\;\;\;\;\,}\\{x < 7,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 6,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x > -3,\;\,\;\;\,\;\;}\\{x \in \left( {-2;6} \right)\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-1,4;-1,2} \right) \cup \left( {-1,2;6} \right).\) \({\log _{5x + 7}}\left( {{{\log }_{7-x}}\left( {x + 3} \right)} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{5x + 7}}\left( {{{\log }_{7-x}}\left( {x + 3} \right)} \right) \ge {\log _{5x + 7}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x + 7-1} \right)\left( {{{\log }_{7-x}}\left( {x + 3} \right)-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x + 6} \right)\left( {{{\log }_{7-x}}\left( {x + 3} \right)-{{\log }_{7-x}}\left( {7-x} \right)} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x + 6} \right)\left( {7-x-1} \right)\left( {x + 3-7 + x} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x + 6} \right)\left( {x-6} \right)\left( {x-2} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-1,2} \right] \cup \left[ {2;\;6} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-1,4;\;-1,2} \right) \cup \left[ {2;\;6} \right).\) Ответ: \(\left( {-1,4;\;-1,2} \right) \cup \left[ {2;\;6} \right).\)
