42В. Решите неравенство \({\log _{5x + 12}}\left( {{{\log }_{6-x}}\left( {x + 4} \right)} \right) \ge 0\).
\({\log _{5x + 12}}\left( {{{\log }_{6-x}}\left( {x + 4} \right)} \right) \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x + 12 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{5x + 12 \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{6-x > 0,\,\,\,\,\,\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{6-x \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x + 4 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\log }_{6-x}}\left( {x + 4} \right) > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -\frac{{12}}{5},\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\,}\\{x \ne -\frac{{11}}{5},\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{x < 6,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{x > -4,\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_{6-x}}\left( {x + 4} \right) > 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим последнее неравенство полученной системы: \({\log _{6-x}}\left( {x + 4} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{6-x}}\left( {x + 4} \right) > {\log _{6-x}}1.\) Запишем ОДЗ для этого неравенства: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4 > 0,}\\{6-x > 0,}\\{6-x \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -4,}\\{x < 6,\;\,}\\{x \ne 5\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {-4;5} \right) \cup \left( {5;6} \right).\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{6-x}}\left( {x + 4} \right) > {\log _{6-x}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {6-x-1} \right)\left( {x + 4-1} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5-x} \right)\left( {x + 3} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;x \in \left( {-3;5} \right)\,.\) Так как ОДЗ \(\left( {-4;5} \right) \cup \left( {5;6} \right),\) то решение неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {-3;5} \right)\,.\) Вернёмся к ОДЗ исходного неравенства: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -\frac{{12}}{5},\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\,}\\{x \ne -\frac{{11}}{5},\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{x < 6,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{x \ne 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{x > -4,\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;}\\{{{\log }_{6-x}}\left( {x + 4} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -\frac{{12}}{5},\;\;}\\{x \ne -\frac{{11}}{5},\;\,\,}\\{x < 6,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 5,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x > -4,\;\,\;\;\;}\\{x \in \left( {-3;5} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2,4;-2,2} \right) \cup \left( {-2,2;5} \right).\) \({\log _{5x + 12}}\left( {{{\log }_{6-x}}\left( {x + 4} \right)} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{5x + 12}}\left( {{{\log }_{6-x}}\left( {x + 4} \right)} \right) \ge {\log _{5x + 12}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x + 12-1} \right)\left( {{{\log }_{6-x}}\left( {x + 4} \right)-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x + 11} \right)\left( {{{\log }_{6-x}}\left( {x + 4} \right)-{{\log }_{6-x}}\left( {6-x} \right)} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x + 11} \right)\left( {6-x-1} \right)\left( {x + 4-6 + x} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {5x + 11} \right)\left( {x-5} \right)\left( {x-1} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-2,2} \right] \cup \left[ {1;\;5} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-2,4;\;-2,2} \right) \cup \left[ {1;\;5} \right).\) Ответ: \(\left( {-2,4;\;-2,2} \right) \cup \left[ {1;\;5} \right).\)
