43В. Решите неравенство  \({\log _{x + 3}}6 + {\log _{-13-6x}}6 \le 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {-\dfrac{8}{3};\;-\dfrac{5}{2}} \right] \cup \left( {-\dfrac{7}{3};\;-\dfrac{{13}}{6}} \right).\)

Решение

\({\log _{x + 3}}6 + {\log _{-13-6x}}6 \le 0.\)

Запишем ОДЗ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 > 0,\,\,\,\,\;\;\,\,}\\{x + 3 \ne 1,\,\,\,\;\;\,\,\,\,}\\{-13-6x > 0,}\\{-13-6x \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -3,\,\;\;}\\{x \ne -2,\;\;\,}\\{x < -\dfrac{{13}}{6},}\\{x \ne -\dfrac{7}{3}\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-3;-\dfrac{7}{3}} \right) \cup \left( {-\dfrac{7}{3};-\dfrac{{13}}{6}} \right).\)

Воспользуемся свойством:  \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\)

\({\log _{x + 3}}6 + {\log _{-13-6x}}6 \le 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{{{\log }_6}\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{{{\log }_6}\left( {-13-6x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{{{\log }_6}\left( {-13-6x} \right) + {{\log }_6}\left( {x + 3} \right)}}{{{{\log }_6}\left( {x + 3} \right) \cdot {{\log }_6}\left( {-13-6x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\log }_6}\left( {-6{x^2}-31x-39} \right)}}{{{{\log }_6}\left( {x + 3} \right) \cdot {{\log }_6}\left( {-13-6x} \right)}} \le 0.\)

Воспользуемся методом рационализации:

\(\dfrac{{{{\log }_6}\left( {-6{x^2}-31x-39} \right)-{{\log }_6}1}}{{\left( {{{\log }_6}\left( {x + 3} \right)-{{\log }_6}1} \right)\left( {{{\log }_6}\left( {-13-6x} \right)-{{\log }_6}1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{\left( {6-1} \right)\left( {-6{x^2}-31x-39-1} \right)}}{{\left( {6-1} \right)\left( {x + 3-1} \right)\left( {6-1} \right)\left( {-13-6x-1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{5\left( {6{x^2} + 31x + 40} \right)}}{{25\left( {x + 2} \right)\left( {6x + 14} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{\left( {x + \dfrac{8}{3}} \right)\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3x + 7} \right)}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Следовательно,  \(x \in \left[ {-\dfrac{8}{3};\;-\dfrac{5}{2}} \right] \cup \left( {-\dfrac{7}{3};\;-2} \right).\)

Найдём общее решение с ОДЗ:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {-\dfrac{8}{3};\;-\dfrac{5}{2}} \right] \cup \left( {-\dfrac{7}{3};\;-\dfrac{{13}}{6}} \right).\)

Ответ:  \(\left[ {-\dfrac{8}{3};\;-\dfrac{5}{2}} \right] \cup \left( {-\dfrac{7}{3};\;-\dfrac{{13}}{6}} \right).\)