44В. Решите неравенство \({\log _{x-2}}3 + {\log _{31-12x}}3 \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{9}{4};\;\dfrac{7}{3}} \right] \cup \left( {\dfrac{5}{2};\;\dfrac{{31}}{{12}}} \right).\)
\({\log _{x-2}}3 + {\log _{31-12x}}3 \le 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x-2 \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{31-12x > 0,}\\{31-12x \ne 1\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\,}\\{x \ne 3,\;\;\,}\\{x < \dfrac{{31}}{{12}},}\\{x \ne \dfrac{5}{2}\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{{31}}{{12}}} \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _{x-2}}3 + {\log _{31-12x}}3 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{{{\log }_3}\left( {x-2} \right)}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}\left( {31-12x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\log }_3}\left( {31-12x} \right) + {{\log }_3}\left( {x-2} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {x-2} \right) \cdot {{\log }_3}\left( {31-12x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\log }_3}\left( {-12{x^2} + 55x-62} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {x-2} \right) \cdot {{\log }_3}\left( {31-12x} \right)}} \le 0.\) Воспользуемся методом рационализации: \(\dfrac{{{{\log }_3}\left( {-12{x^2} + 55x-62} \right)-{{\log }_3}1}}{{\left( {{{\log }_3}\left( {x-2} \right)-{{\log }_3}1} \right)\left( {{{\log }_3}\left( {31-12x} \right)-{{\log }_3}1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{\left( {3-1} \right)\left( {-12{x^2} + 55x-62-1} \right)}}{{\left( {3-1} \right)\left( {x-2-1} \right)\left( {3-1} \right)\left( {31-12x-1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{2\left( {12{x^2}-55x + 63} \right)}}{{4\left( {x-3} \right)\left( {12x-30} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{\left( {x-\dfrac{7}{3}} \right)\left( {x-\dfrac{9}{4}} \right)}}{{\left( {x-3} \right)\left( {2x-5} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left[ {\dfrac{9}{4};\;\dfrac{7}{3}} \right] \cup \left( {\dfrac{5}{2};\;3} \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\dfrac{9}{4};\;\dfrac{7}{3}} \right] \cup \left( {\dfrac{5}{2};\;\dfrac{{31}}{{12}}} \right).\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{9}{4};\;\dfrac{7}{3}} \right] \cup \left( {\dfrac{5}{2};\;\dfrac{{31}}{{12}}} \right).\) 
