44В. Решите неравенство  \({\log _{x-2}}3 + {\log _{31-12x}}3 \le 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{9}{4};\;\frac{7}{3}} \right] \cup \left( {\frac{5}{2};\;\frac{{31}}{{12}}} \right).\)

Решение

\({\log _{x-2}}3 + {\log _{31-12x}}3 \le 0.\)

Запишем ОДЗ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x-2 \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{31-12x > 0,}\\{31-12x \ne 1\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\,}\\{x \ne 3,\;\;\,}\\{x < \frac{{31}}{{12}},}\\{x \ne \frac{5}{2}\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {2;\frac{5}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2};\frac{{31}}{{12}}} \right).\)

Воспользуемся свойством:  \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}.\)

\({\log _{x-2}}3 + {\log _{31-12x}}3 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{{{\log }_3}\left( {x-2} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_3}\left( {31-12x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_3}\left( {31-12x} \right) + {{\log }_3}\left( {x-2} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {x-2} \right) \cdot {{\log }_3}\left( {31-12x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_3}\left( {-12{x^2} + 55x-62} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {x-2} \right) \cdot {{\log }_3}\left( {31-12x} \right)}} \le 0.\)

Воспользуемся методом рационализации:

\(\frac{{{{\log }_3}\left( {-12{x^2} + 55x-62} \right)-{{\log }_3}1}}{{\left( {{{\log }_3}\left( {x-2} \right)-{{\log }_3}1} \right)\left( {{{\log }_3}\left( {31-12x} \right)-{{\log }_3}1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\frac{{\left( {3-1} \right)\left( {-12{x^2} + 55x-62-1} \right)}}{{\left( {3-1} \right)\left( {x-2-1} \right)\left( {3-1} \right)\left( {31-12x-1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\frac{{2\left( {12{x^2}-55x + 63} \right)}}{{4\left( {x-3} \right)\left( {12x-30} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\frac{{\left( {x-\frac{7}{3}} \right)\left( {x-\frac{9}{4}} \right)}}{{\left( {x-3} \right)\left( {2x-5} \right)}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Следовательно,  \(x \in \left[ {\frac{9}{4};\;\frac{7}{3}} \right] \cup \left( {\frac{5}{2};\;3} \right).\)

Найдём общее решение с ОДЗ:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {\frac{9}{4};\;\frac{7}{3}} \right] \cup \left( {\frac{5}{2};\;\frac{{31}}{{12}}} \right).\)

Ответ:  \(\left[ {\frac{9}{4};\;\frac{7}{3}} \right] \cup \left( {\frac{5}{2};\;\frac{{31}}{{12}}} \right).\)