45В. Решите неравенство \({\log _{6-8{x^2}}}\left( {36-64{x^4}} \right) \le 2 + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {6-8{x^2}} \right)}}\).
\({\log _{6-8{x^2}}}\left( {36-64{x^4}} \right) \le 2 + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {6-8{x^2}} \right)}}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{36-64{x^4} > 0,}\\{6-8{x^2} > 0,\;\,\,\,\,\,}\\{6-8{x^2} \ne 1\;\,\,\,\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {6-8{x^2}} \right)\left( {6 + 8{x^2}} \right) > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{6-8{x^2} > 0,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{6-8{x^2} \ne 1\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\sqrt 6 -2\sqrt 2 x} \right)\left( {\sqrt 6 + 2\sqrt 2 x} \right)\left( {6 + 8{x^2}} \right) > 0,}\\{\left( {\sqrt 6 -2\sqrt 2 x} \right)\left( {\sqrt 6 + 2\sqrt 2 x} \right) > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{\left( {x-\sqrt {\frac{5}{8}} } \right)\left( {x + \sqrt {\frac{5}{8}} } \right) \ne 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right),}\\{x \in \left( {-\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right),}\\{x \ne \pm \sqrt {\frac{5}{8}} \,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {-\frac{{\sqrt 3 }}{2};-\sqrt {\frac{5}{8}} } \right) \cup \left( {-\sqrt {\frac{5}{8}} ;\sqrt {\frac{5}{8}} } \right) \cup \left( {\sqrt {\frac{5}{8}} ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\) \({\log _{6-8{x^2}}}\left( {36-64{x^4}} \right) \le 2 + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {6-8{x^2}} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{6-8{x^2}}}\left( {6-8{x^2}} \right)\left( {6 + 8{x^2}} \right) \le 2 + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {6-8{x^2}} \right)}}\;\;\;\,\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + {\log _{6-8{x^2}}}\left( {6 + 8{x^2}} \right) \le 2 + {\log _{6-8{x^2}}}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\,{\log _{6-8{x^2}}}\left( {6 + 8{x^2}} \right) \le {\log _{6-8{x^2}}}\left( {6-8{x^2}} \right) + {\log _{6-8{x^2}}}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{6-8{x^2}}}\left( {6 + 8{x^2}} \right) \le {\log _{6-8{x^2}}}\left( {12-16{x^2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {6-8{x^2}-1} \right)\left( {6 + 8{x^2}-12 + 16{x^2}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left( {5-8{x^2}} \right)\left( {24{x^2}-6} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left( {x-\sqrt {\frac{5}{8}} } \right)\left( {x + \sqrt {\frac{5}{8}} } \right)\left( {2x-1} \right)\left( {2x + 1} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-\sqrt {\frac{5}{8}} } \right] \cup \left[ {-0,5;0,5} \right] \cup \left[ {\sqrt {\frac{5}{8}} ;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\frac{{\sqrt 3 }}{2};\;-\sqrt {\frac{5}{8}} } \right) \cup \left[ {-0,5;\;0,5} \right] \cup \left( {\sqrt {\frac{5}{8}} ;\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\) Ответ: \(\left( {-\frac{{\sqrt 3 }}{2};\;-\sqrt {\frac{5}{8}} } \right) \cup \left[ {-0,5;\;0,5} \right] \cup \left( {\sqrt {\frac{5}{8}} ;\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\)
