46В. Решите неравенство \({\log _{3-9{x^2}}}\left( {9-81{x^4}} \right) \le 2 + \dfrac{1}{{{{\log }_2}\left( {3-9{x^2}} \right)}}\).
\({\log _{3-9{x^2}}}\left( {9-81{x^4}} \right) \le 2 + \dfrac{1}{{{{\log }_2}\left( {3-9{x^2}} \right)}}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3-9{x^2} > 0,\,}\\{3-9{x^2} \ne 1,\,\,}\\{9-81{x^4} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{3-9{x^2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{2-9{x^2} \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}}\\{\left( {3-9{x^2}} \right)\left( {3 + 9{x^2}} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\sqrt 3 -3x} \right)\left( {\sqrt 3 + 3x} \right) > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\left( {3x-\sqrt 2 } \right)\left( {3x + \sqrt 2 } \right) \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}}\\{\left( {\sqrt 3 -3x} \right)\left( {\sqrt 3 + 3x} \right)\left( {3 + 9{x^2}} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right),}\\{x \ne \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{x \in \left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\;}\end{array}} \right.\;\,\;\;\; \Leftrightarrow \) \(x\, \in \,\left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};-\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}} \right) \cup \left( {-\dfrac{{\sqrt 2 }}{3};\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _{3-9{x^2}}}\left( {9-81{x^4}} \right) \le 2 + \dfrac{1}{{{{\log }_2}\left( {3-9{x^2}} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{3-9{x^2}}}\left( {3-9{x^2}} \right)\left( {3 + 9{x^2}} \right) \le 2 + {\log _{3-9{x^2}}}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + {\log _{3-9{x^2}}}\left( {3 + 9{x^2}} \right) \le 2 + {\log _{3-9{x^2}}}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{3-9{x^2}}}\left( {3 + 9{x^2}} \right) \le {\log _{3-9{x^2}}}\left( {3-9{x^2}} \right) + {\log _{3-9{x^2}}}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{3-9{x^2}}}\left( {3 + 9{x^2}} \right) \le {\log _{3-9{x^2}}}\left( {6-18{x^2}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {3-9{x^2}-1} \right)\left( {3 + 9{x^2}-6 + 18{x^2}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2-9{x^2}} \right)\left( {27{x^2}-3} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {3x-\sqrt 2 } \right)\left( {3x + \sqrt 2 } \right)\left( {3x-1} \right)\left( {3x + 1} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}} \right] \cup \left[ {-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{3};\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\;-\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}} \right) \cup \left[ {-\dfrac{1}{3};\;\dfrac{1}{3}} \right] \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{3};\;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\) Ответ: \(\left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\;-\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}} \right) \cup \left[ {-\dfrac{1}{3};\;\dfrac{1}{3}} \right] \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{3};\;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\)
