47В. Решите неравенство \({\log _{x + 1}}2 \le {\log _{3-x}}2\).
\({\log _{x + 1}}2 \le {\log _{3-x}}2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 > 0,\,}\\{x + 1 \ne 1,\;}\\{3-x > 0,}\\{3-x \ne 1\;\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \right. \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,}\\{x \ne 0,\;\,}\\{x < 3,\;\,}\\{x \ne 2\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-1;0} \right) \cup \left( {0;2} \right) \cup \left( {2;3} \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _{x + 1}}2 \le {\log _{3-x}}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)}}-\frac{1}{{{{\log }_2}\left( {3-x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_2}\left( {3-x} \right)-{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right) \cdot {{\log }_2}\left( {3-x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_2}\frac{{3-x}}{{x + 1}}}}{{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right) \cdot {{\log }_2}\left( {3-x} \right)}} \le 0.\) Воспользуемся методом рационализации: \(\frac{{{{\log }_2}\frac{{3-x}}{{x + 1}}-{{\log }_2}1}}{{\left( {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)-{{\log }_2}1} \right)\left( {{{\log }_2}\left( {3-x} \right)-{{\log }_2}1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\frac{{\left( {2-1} \right)\left( {\frac{{3-x}}{{x + 1}}-1} \right)}}{{\left( {2-1} \right)\left( {x + 1-1} \right)\left( {2-1} \right)\left( {3-x-1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\frac{{\left( {2x-2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)x\left( {x-2} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-1;\;0} \right) \cup \left[ {1;\;2} \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-1;\;0} \right) \cup \left[ {1;\;2} \right).\) Ответ: \(\left( {-1;\;0} \right) \cup \left[ {1;\;2} \right).\)
