48В. Решите неравенство \({\log _{\frac{x}{{x-1}}}}5 \le {\log _{\frac{x}{2}}}5\).
\({\log _{\frac{x}{{x-1}}}}5 \le {\log _{\frac{x}{2}}}5.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{{x-1}} > 0,}\\{\frac{x}{{x-1}} \ne 1,\,}\\{\frac{x}{2} > 0,\;\;\;\;\,}\\{\frac{x}{2} \ne 1\;\;\;\;\;\;}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \right. \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\,}\\{x \ne 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {1;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _{\frac{x}{{x-1}}}}5 \le {\log _{\frac{x}{2}}}5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{{{\log }_5}\left( {\frac{x}{{x-1}}} \right)}}-\frac{1}{{{{\log }_5}\left( {\frac{x}{2}} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_5}\left( {\frac{x}{2}} \right)-{{\log }_5}\left( {\frac{x}{{x-1}}} \right)}}{{{{\log }_5}\left( {\frac{x}{{x-1}}} \right) \cdot {{\log }_5}\left( {\frac{x}{2}} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_5}\left( {\frac{{x-1}}{2}} \right)}}{{{{\log }_5}\left( {\frac{x}{{x-1}}} \right) \cdot {{\log }_5}\left( {\frac{x}{2}} \right)}} \le 0.\) Воспользуемся методом рационализации: \(\frac{{{{\log }_5}\left( {\frac{{x-1}}{2}} \right)-{{\log }_5}1}}{{\left( {{{\log }_5}\left( {\frac{x}{{x-1}}} \right)-{{\log }_5}1} \right)\left( {{{\log }_5}\left( {\frac{x}{2}} \right)-{{\log }_5}1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\frac{{\left( {5-1} \right)\left( {\frac{{x-1}}{2}-1} \right)}}{{\left( {5-1} \right)\left( {\frac{x}{{x-1}}-1} \right)\left( {5-1} \right)\left( {\frac{x}{2}-1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {x-3} \right)\left( {x-1} \right)}}{{x-2}} \le 0,}\\{x \ne 1.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left( {2;3} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {2;\;3} \right].\) Ответ: \(\left( {2;\;3} \right].\)
