5В. Решите неравенство \(\dfrac{{\left( {{x^2} + 9x + 20} \right) \cdot {{\log }_{x + 6}}\left( {x + 5} \right) \cdot \lg {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{2{x^2} + 21x + 54}} \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {-5;\;-4,5} \right) \cup \left\{ {-4} \right\} \cup \left[ {-3;\;-2} \right) \cup \left( {-2;\;-1} \right].\)
\(\dfrac{{\left( {{x^2} + 9x + 20} \right) \cdot {{\log }_{x + 6}}\left( {x + 5} \right) \cdot \lg {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{2{x^2} + 21x + 54}} \le 0.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения и основание: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 > 0,\;\;\;\;\,}\\{{{\left( {x + 2} \right)}^2} > 0,}\\{x + 6 > 0,\;\;\;\;}\\{x + 6 \ne 1\;\;\,\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -5,}\\{x \ne -2,}\\{x > -6,}\\{x \ne -5\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-5;-2} \right) \cup \left( {-2;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \(\dfrac{{\left( {{x^2} + 9x + 20} \right) \cdot {{\log }_{x + 6}}\left( {x + 5} \right) \cdot \lg {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{2{x^2} + 21x + 54}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{{\left( {{x^2} + 9x + 20} \right) \cdot \lg \left( {x + 5} \right) \cdot \lg {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {2{x^2} + 21x + 54} \right)\lg \left( {x + 6} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x \in \left( {-5;-2} \right) \cup \left( {-2;\infty } \right).\) Найдём нули числителя: \(\left( {{x^2} + 9x + 20} \right) \cdot \lg \left( {x + 5} \right) \cdot \lg {\left( {x + 2} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 9x + 20 = 0,}\\{\lg \left( {x + 5} \right) = 0,\;}\\{\lg {{\left( {x + 2} \right)}^2} = 0\;\;\,\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -4,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = -5,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x + 5 = 1,\;\;\;\;\,}\\{{{\left( {x + 2} \right)}^2} = 1\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -4,\;\;\;\,\;}\\{x = -5,\;\;\;\,\;}\\{x = -4,\;\;\;\,\;}\\{x + 2 = 1,\;\,}\\{x + 2 = -1\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -4,}\\{x = -5,}\\{x = -1,}\\{x = -3.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(\left( {2{x^2} + 21x + 54} \right)\lg \left( {x + 6} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} + 21x + 54 = 0,}\\{\lg \left( {x + 6} \right) = 0\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -4,5,}\\{x = -6,\;\;\;\,}\\{x + 6 = 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -4,5,}\\{x = -6,\;\;\;\,}\\{x = -5.\;\;\;}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-5;\;-4,5} \right) \cup \left\{ {-4} \right\} \cup \left[ {-3;\;-2} \right) \cup \left( {-2;\;-1} \right].\) Ответ: \(\left( {-5;\;-4,5} \right) \cup \left\{ {-4} \right\} \cup \left[ {-3;\;-2} \right) \cup \left( {-2;\;-1} \right].\) 