50В. Решите неравенство \({\log _{{{\log }_x}2x}}\left( {9x-4} \right) \ge 0\).
\({\log _{{{\log }_x}2x}}\left( {9x-4} \right) \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9x-4 > 0,\,\,}\\{x > 0,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,\,\,}\\{x \ne 1,\,\,\,\,\;\,\;\,\,\,\,\,\,}\\{2x > 0,\,\,\,\;\,\,\,\,\,\,}\\{{{\log }_x}2x \ne 1,}\\{{{\log }_x}2x > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \frac{4}{9},\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{{{\log }_x}2x > 0.}\end{array}}\end{array}} \right.\) Рассмотрим последнее неравенство полученной системы: \({\log _x}2x > 0.\) Запишем ОДЗ для последнего неравенства: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x > 0,}\\{x > 0,\;\,}\\{x \ne 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) \({\log _x}2x > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _x}2x > {\log _x}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _x}2x > {\log _x}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {2x-1} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением последнего неравенства является: \(x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \frac{4}{9},\;\;\;\,\;\,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{{\log }_x}2x > 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \frac{4}{9},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right)}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\frac{4}{9};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\) \({\log _{{{\log }_x}2x}}\left( {9x-4} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{{{\log }_x}2x}}\left( {9x-4} \right) \ge {\log _{{{\log }_x}2x}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{{{\log }_x}2x}}\left( {9x-4} \right) \ge {\log _{{{\log }_x}2x}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_x}2x-1} \right)\left( {9x-4-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_x}2x-{{\log }_x}x} \right)\left( {9x-5} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {2x-x} \right)\left( {9x-5} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\;\;\;\,x\left( {x-1} \right)\left( {9x-5} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, решением последнего неравенства является: \(x \in \left[ {0;\frac{5}{9}} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением последнего неравенства является: \(x \in \left( {\frac{4}{9};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\frac{4}{9};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)
