51В. Решите неравенство \({\log _{{x^2} + 1}}\dfrac{{2 \cdot {4^x}-15 \cdot {2^x} + 23}}{{{4^x}-9 \cdot {2^x} + 14}} \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left\{ {{{\log }_2}3} \right\} \cup \left( {{{\log }_2}7;\;\infty } \right).\)
\({\log _{{x^2} + 1}}\dfrac{{2 \cdot {4^x}-15 \cdot {2^x} + 23}}{{{4^x}-9 \cdot {2^x} + 14}} \ge 0.\) \({\log _{{x^2} + 1}}\dfrac{{2 \cdot {4^x}-15 \cdot {2^x} + 23}}{{{4^x}-9 \cdot {2^x} + 14}} \ge 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{{x^2} + 1}}\dfrac{{2 \cdot {4^x}-15 \cdot {2^x} + 23}}{{{4^x}-9 \cdot {2^x} + 14}} \ge {\log _{{x^2} + 1}}1.\) Основание логарифма \({x^2} + 1 \ne 1\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\) При \(x \ne 0\) основание логарифма \({x^2} + 1 > 1,\) поэтому последнее неравенство примет вид: \(\dfrac{{2 \cdot {4^x}-15 \cdot {2^x} + 23}}{{{4^x}-9 \cdot {2^x} + 14}} \ge 1.\) Пусть \({2^x} = t.\) Тогда: \(\dfrac{{2{t^2}-15t + 23}}{{{t^2}-9t + 14}} \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{t^2}-15t + 23-{t^2} + 9t-14}}{{{t^2}-9t + 14}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-6t + 9}}{{{t^2}-9t + 14}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {t-3} \right)}^2}}}{{\left( {t-7} \right)\left( {t-2} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, решением полученного неравенства является: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < 2,}\\{t = 3,}\\{t > 7.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} < 2,}\\{{2^x} = 3,}\\{{2^x} > 7\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} < {2^1},\;\;\;\;}\\{{2^x} = {2^{{{\log }_2}3}},}\\{{2^x} > {2^{{{\log }_2}7}}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = {{\log }_2}3,}\\{x > {{\log }_2}7\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left\{ {{{\log }_2}3} \right\} \cup \left( {{{\log }_2}7;\infty } \right).\) Так как \(x \ne 0,\) то решение исходного неравенство будет иметь вид: \(x \in \left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left\{ {{{\log }_2}3} \right\} \cup \left( {{{\log }_2}7;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left\{ {{{\log }_2}3} \right\} \cup \left( {{{\log }_2}7;\;\infty } \right).\) Замечание: в исходном неравенстве не учитывали условие \(\dfrac{{2 \cdot {4^x}-15 \cdot {2^x} + 23}}{{{4^x}-9 \cdot {2^x} + 14}} > 0,\) так как при решении неравенства \(\dfrac{{2 \cdot {4^x}-15 \cdot {2^x} + 23}}{{{4^x}-9 \cdot {2^x} + 14}} \ge 1\) оно выполнится автоматически. 