52В. Решите неравенство \({\log _{{x^2} + 1}}\dfrac{{2 \cdot {9^x}-19 \cdot {3^x} + 40}}{{{9^x}-11 \cdot {3^x} + 24}} \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left\{ {{{\log }_3}4} \right\} \cup \left( {{{\log }_3}8;\;\infty } \right).\)
\({\log _{{x^2} + 1}}\dfrac{{2 \cdot {9^x}-19 \cdot {3^x} + 40}}{{{9^x}-11 \cdot {3^x} + 24}} \ge 0.\) \({\log _{{x^2} + 1}}\dfrac{{2 \cdot {9^x}-19 \cdot {3^x} + 40}}{{{9^x}-11 \cdot {3^x} + 24}} \ge 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{{x^2} + 1}}\dfrac{{2 \cdot {9^x}-19 \cdot {3^x} + 40}}{{{9^x}-11 \cdot {3^x} + 24}} \ge {\log _{{x^2} + 1}}1.\) Основание логарифма \({x^2} + 1 \ne 1\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\) При \(x \ne 0\) основание логарифма \({x^2} + 1 > 1,\) поэтому последнее неравенство примет вид: \(\dfrac{{2 \cdot {9^x}-19 \cdot {3^x} + 40}}{{{9^x}-11 \cdot {3^x} + 24}} \ge 1.\) Пусть \({3^x} = t.\) Тогда: \(\dfrac{{2{t^2}-19t + 40}}{{{t^2}-11t + 24}} \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{t^2}-19t + 40-{t^2} + 11t-24}}{{{t^2}-11t + 24}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-8t + 16}}{{{t^2}-11t + 24}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {t-4} \right)}^2}}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t-3} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, решением полученного неравенства является: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < 3,}\\{t = 4,}\\{t > 8.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} < 3,}\\{{3^x} = 4,}\\{{3^x} > 8\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} < {3^1},\;\;\;\;}\\{{3^x} = {3^{{{\log }_3}4}},}\\{{3^x} > {3^{{{\log }_3}8}}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = {{\log }_3}4,}\\{x > {{\log }_3}8\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left\{ {{{\log }_3}4} \right\} \cup \left( {{{\log }_3}8;\infty } \right).\) Так как \(x \ne 0,\) то решение исходного неравенство будет иметь вид: \(x \in \left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left\{ {{{\log }_3}4} \right\} \cup \left( {{{\log }_3}8;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left\{ {{{\log }_3}4} \right\} \cup \left( {{{\log }_3}8;\;\infty } \right).\) Замечание: в исходном неравенстве не учитывали условие \(\dfrac{{2 \cdot {9^x}-19 \cdot {3^x} + 40}}{{{9^x}-11 \cdot {3^x} + 24}} > 0,\) так как при решении неравенства \(\dfrac{{2 \cdot {9^x}-19 \cdot {3^x} + 40}}{{{9^x}-11 \cdot {3^x} + 24}} \ge 1\) оно выполнится автоматически. 