53В. Решите неравенство \({\log _{x + 1}}\left( {2x-5} \right) + {\log _{2x-5}}\left( {x + 1} \right) \le 2\).
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{5}{2};\;3} \right) \cup \left\{ 6 \right\}.\)
\({\log _{x + 1}}\left( {2x-5} \right) + {\log _{2x-5}}\left( {x + 1} \right) \le 2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-5 > 0,}\\{x + 1 > 0,\,\,\,\,}\\{x + 1 \ne 1,\,\,\,\;}\\{2x-5 \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \dfrac{5}{2},\,}\\{x > -1,}\\{x \ne 0,\;\,}\\{x \ne 3\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {\dfrac{5}{2};3} \right) \cup \left( {3;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _{x + 1}}\left( {2x-5} \right) + {\log _{2x-5}}\left( {x + 1} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x + 1}}\left( {2x-5} \right) + \dfrac{1}{{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x-5} \right)}}-2 \le 0.\) Пусть \({\log _{x + 1}}\left( {2x-5} \right) = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(t + \dfrac{1}{t}-2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {t-1} \right)}^2}}}{t} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < 0,}\\{t = 1.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x-5} \right) < 0,}\\{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x-5} \right) = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{x + 1}}\left( {2x-5} \right) < {{\log }_{x + 1}}1,}\\{x = 6.\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Неравенство полученной совокупности имеет вид \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right).\) Оно равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{x + 1}}\left( {2x-5} \right) < {\log _{x + 1}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1-1} \right)\left( {2x-5-1} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {2x-6} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;3} \right).\) Следовательно: \(x \in \left( {0;3} \right) \cup \left\{ 6 \right\}.\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {\dfrac{5}{2};3} \right) \cup \left( {3;\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {\dfrac{5}{2};\;3} \right) \cup \left\{ 6 \right\}.\) Ответ: \(\left( {\dfrac{5}{2};\;3} \right) \cup \left\{ 6 \right\}.\)