54В. Решите неравенство \({\log _{2x-1}}\left( {4x-5} \right) + {\log _{4x-5}}\left( {2x-1} \right) \le 2\).
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{5}{4};\;\frac{3}{2}} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\)
\({\log _{2x-1}}\left( {4x-5} \right) + {\log _{4x-5}}\left( {2x-1} \right) \le 2.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x-5 > 0,}\\{2x-1 > 0,\,}\\{2x-1 \ne 1,\,\,}\\{4x-5 \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \frac{5}{4},}\\{x > \frac{1}{2},}\\{x \ne 1,\;\,}\\{x \ne \frac{3}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {\frac{5}{4};\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _{2x-1}}\left( {4x-5} \right) + {\log _{4x-5}}\left( {2x-1} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{2x-1}}\left( {4x-5} \right) + \frac{1}{{{{\log }_{2x-1}}\left( {4x-5} \right)}}-2 \le 0.\) Пусть \({\log _{2x-1}}\left( {4x-5} \right) = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(t + \frac{1}{t}-2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {t-1} \right)}^2}}}{t} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < 0,}\\{t = 1.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{2x-1}}\left( {4x-5} \right) < 0,}\\{{{\log }_{2x-1}}\left( {4x-5} \right) = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{2x-1}}\left( {4x-5} \right) < {{\log }_{2x-1}}1,}\\{x = 2.\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Неравенство полученной совокупности имеет вид \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right).\) Оно равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{2x-1}}\left( {4x-5} \right) < {\log _{2x-1}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2x-1-1} \right)\left( {4x-5-1} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2x-2} \right)\left( {4x-6} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {1;\frac{3}{2}} \right).\) Следовательно: \(x \in \left( {1;\frac{3}{2}} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {\frac{5}{4};\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {\frac{5}{4};\;\frac{3}{2}} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\) Ответ: \(\left( {\frac{5}{4};\;\frac{3}{2}} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\)